Funkcionální analýza I (FSI-SU1)

Akademický rok 2012/2013
Garant: prof. Aleksandre Lomtatidze, DrSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Seznámit a naučit studenty pracovat se základními pojmy a postupy funkcionální analýzy, které jsou využívány v dalších matematických předmětech.
Výstupy studia a kompetence:
Znalost základních pojmů metrických, lineárních, normovaných a unitárních prostorů, Lebesgueova integrálu a schopnost tyto pojmy využívat.
Prerekvizity:
Diferenciální a integrální počet, numerické metody, obyčejné diferenciální rovnice.
Obsah předmětu (anotace):
Předmět se zabývá základními pojmy funkcionální analýzy a jejich ilustrací na konkrétních metrických, normovaných lineárních a unitárních prostorech. Probrána je i Lebesgueova míra a Lebesgueův integrál. Výsledky jsou využity pro řešení úloh matematické a numerické analýzy.
Metody vyučování:
Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.
Způsob a kritéria hodnocení:
Zápočet: aktivní účast ve cvičeních, úspěšné napsání kontrolní práce. Zkouška - praktická část: ilustrace pojmů na konkrétních příkladech. Teoretická část: otázky z přednesené látky.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
V případě nepřítomnosti si student musí doplnit zameškanou látku samostudiem z literatury.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 2 hod.
    Cvičení  13 × 2 hod.
Osnova:
    Přednáška 1. Metrický prostor - základní pojmy, některé podmnožiny, separabilní metrické prostory, konvergence, úplné metrické prostory, kompaktnost, kompaktní množiny v některých speciálních prostorech.
2. Míra a integrál - Lebesqueova míra, měřitelné funkce, Lebesgueův integrál, věty o limitním přechodu.
3. Lineární prostor - defnice a příklady, normovaný prostor, unitární prostor, Besselova nerovnost, Riesz-Fischerova věta, Hilbertův prostor, charakteristická vlastnost unitárních prostorů.
4. Funkcionály - geometrický význam lineárního funkcionálu, konvexní množiny, konvexní funkcionály, Hahn-Banachova věta, spojité lineární funkcionály, Hahn-Banachova věta v normovaném prostoru.
5. Adjungovaný prostor - prostor adjungovaný k Hilbertovu prostoru, druhý adjungovaný prostor, slabá konvergence, Banach-Steinhausova věta, slabá konvergence a ohraničené množiny v adjungovaném prostoru.
    Cvičení Procičování látky z přednášek na konkrétních příkladech prostorů konečné dimenze, prostorů posloupností a prostorů spojitých a integrovatelných funkcí.
Literatura - základní:
1. A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975.
2. I. P. Natanson: Teorija funkcij veščestvennoj peremennoj, Moskva
4. E. Čech: Bodové množiny, Academia, Praha 1974
5. S. Lang: Real and Functional Analysis, Springer-Verlag, New York, 1993.
Literatura - doporučená:
1. A.Ženíšek: Lebesgueův integrál a základy funkcionální analýzy, skripta FSI VUT, PC-DIR, Brno 1999.
2. J. Lukeš: Úvod do funkcionální analýzy, Učební texty UK v Praze, Nakladatelství Karolinum, Praha 2005
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
B3A-P prezenční studium B-MAI Matematické inženýrství -- zá,zk 6 Povinný 1 2 L