Lineární algebra (FSI-SLA)

Akademický rok 2012/2013
Garant: doc. RNDr. Jiří Karásek, CSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Cílem předmětu je seznámit studenty se základy algebraických operací, lineární algebry, vektorových a euklidovských prostorů a analytické geometrie, aby byli schopni studovat navazující části matematiky a technických předmětů a řešit příslušné inženýrské problémy. Dalším úkolem předmětu je rozvíjet logické myšlení studentů.
Výstupy studia a kompetence:
Studenti získají základní znalosti z algebraických operací, lineární algebry, vektorových a euklidovských prostorů a analytické geometrie. Budou schopni pracovat s maticovými operacemi, řešit systémy lineárních rovnic a aplikovat metody lineární algebry v analytické geometrii a v technických problémech. Po absolvování předmětu budou studenti připraveni pro stdium dalších matematických a technických disciplin.
Prerekvizity:
Požadují se znalosti středoškolské matematiky.
Obsah předmětu (anotace):
Předmět se zabývá těmito tématy: Množiny: zobrazení množin, relace na množině. Algebraické operace: grupoidy, vektorové prostory, matice a maticové operace. Základy lineární algebry: determinanty, matice ve schodovitém tvaru a hodnost matice, systém lineárních rovnic. Euklidovské prostory: skalární součin vektorů, vlastní hodnoty a vlastní vektory. Základy analytické geometrie: lineární útvary, kuželosečky, kvadriky.
Metody vyučování:
Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.
Způsob a kritéria hodnocení:
Požadavky na udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičeních. Forma zkoušek: Zkouška má písemnou a ústní část.Písemná část trvá 120 minut, přičemž bude zadáno 5 otázek specifikovaných níže: 1. otázka: Zobrazení, grupoidy, vektorové prostory, euklidovské prostory, vlastní hodnoty a vlastní vektory. 2. otázka: Matice. 3. otázka: Systémy lineárních rovnic. 4. otázka: Analytická geometrie lineárních útvarů. 5. otázka: Analytická geometrie nelineárních útvarů. Základem ústní zkoušky je společné projití písemné zkoušky. Zkoušející je povinen předem sdělit posluchačům (nejpozději na poslední přednášce) základní informace o průběhu zkoušky a také hlavní zásady týkající se klasifikace. Pravidla klasifikace: Každá otázka 4 body. Celkem je možno dosáhnout 20 bodů. Výsledná klasifikace: A (výborně): 19 - 20 bodů B (velmi dobře): 17 - 18 bodů C (dobře): 15 - 16 bodů D (uspokojivě): 13 - 14 bodů E (dostatečně): 10 - 12 bodů F (nevyhověl): 0 - 9 bodů
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Učast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je kontrolovaná. Výuka probíhá podle týdenních rozvrhů. Způsob nahrazování zameškané výuky je v kompetenci učitele.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 3 hod.
    Cvičení  13 × 2 hod.
Osnova:
    Přednáška 1. týden: Základní pojmy zobrazení množin: pojem zobrazení, injekce, surjekce a bijekce, inverzní zobrazení,
skládání zobrazení.
Pojem relace: obecná definice, reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní a úplná relace,
uspořádání, lineární uspořádání.
2. týden: Ekvivalence, rozklad na množině, vztah mezi ekvivalencí a rozkladem.
Algebraické operace: grupoid, podgrupoid, pologrupa, neutrální prvek, inverzní prvek.
3. týden: Grupa, podgrupa.
Vektorové prostory: definice, lineární kombinace, lineární nezávislost.
4. týden: Vektorový podprostor, báze a dimenze vektorového prostoru.
5. týden: Matice a maticové operace.
Okruhy, komutativní okruhy, dělitelé nuly.
6. týden: Základy lineární algebry: determinanty, Cauchyova věta, inverzní matice.
7. týden: Matice ve schodovitém tvaru, hodnost matice.
8. týden: Systémy lineárních rovnic: Cramerovo pravidlo, eliminační metoda, Frobeniova věta, homogenní systémy.
9. týden: Euklidovské prostory: skalární součin, norma, Schwarzova nerovnost, Gram-Schmidtův ortogonalizační
algoritmus.
10. týden: Vlastní hodnoty a vlastní vektory, charakteristický polynom.
Základy analytické geometrie: vektorový a smíšený součin vektorů.
11. týden: Analytikcá geometrie lineárních útvarů.
12. týden: Analytická geometrie kuželoseček.
13. týden: Analytická geometrie kvadrik.

    Cvičení 1. týden: Základní pojmy matematické logiky a operace s množinami.
Další týdny: Cvičení k přednášce z předchozího týdne.
Literatura - základní:
1. Thomas, G. B., Finney, R.L.: Calculus and Analytic Geometry, Addison Wesley 2003.
2. Howard, A. A.: Elementary Linear Algebra, Wiley 2002.
3. Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I., II., Prometheus 1995.
4. Nicholson, W. K.: Elementary Linear Algebra with Applications, PWS 1990.
5. Searle, S. R.: Matrix Algebra Useful for Statistics, Wiley 1982.
Literatura - doporučená:
6. Karásek, J., Skula, L.: Algebra a geometrie, Cerm 2002.
7. Nedoma, J.: Matematika I., Cerm 2001.
8. Nedoma, J.: Matematika I., část první: Algebra a geometrie, PC-DIR 1998.
9. Horák, P., Janyška, J.: Analytická geometrie, Masarykova univerzita 1997.
10. Janyška, J., Sekaninová, A.: Analytická teorie kuželoseček a kvadrik, Masarykova univerzita 1996.
11. Mezník, I., Karásek, J., Miklíček, J.: Matematika I. pro strojní fakulty, SNTL 1992.
12. Horák, P.: Algebra a teoretická aritmetika, Masarykova univerzita 1991.
13. Procházka, L. a spol.: Algebra, Academia 1990.
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
B3A-P prezenční studium B-MAI Matematické inženýrství -- zá,zk 6 Povinný 1 1 Z