Matematická analýza III (FSI-SA3)

Akademický rok 2012/2013
Garant: doc. RNDr. Jan Čermák, CSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Cílem kurzu je seznámit studenty se základními pojmy teorie obyčejných diferenciálních rovnic a teorie nekonečných řad. Úkolem je naučit studenty elementární metody řešení diferenciálních rovnic a jejich systémů a seznámit je s využitím nekonečných řad.
Výstupy studia a kompetence:
V kurzu Matematická analýza III studenti zvládnou elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic prvního i vyšších řádů, včetně lineárních systémů. Dále jsou seznámeni s kritérii konvergence řad, odhady zbytků řad a metodami rozvoje funkcí do mocninných a Fourierových řad.
Prerekvizity:
Lineární algebra, diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více proměnných.
Obsah předmětu (anotace):
Předmět Matematická analýza III seznámí studenty oboru Matematické inženýrství se základy teorie nekonečných řad a obyčejných diferenciálních rovnic. Znalost teorie diferenciálních rovnic a metod jejich řešení je nezbytným předpokladem a nepostradatelným základem nejen pro další studium matematiky, ale i pro fyzikální a technické disciplíny. Nekonečné řady jsou důležitým prostředkem pro nejrůznější matematické a fyzikální výpočty, a mají četné praktické využití. Předmět zahrnuje následující témata: Číselné řady. Funkční řady. Mocninné řady. Taylorovy řady a rozvoje funkcí v Taylorovy řady. Fourierovy řady a rozvoje funkcí ve Fourierovy řady. Obyčejné diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice prvního řádu. Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu. Teorie stability.
Metody vyučování:
Metody vyučování závisejí na způsobu výuky a jsou popsány článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.
Způsob a kritéria hodnocení:
Podmínky udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičení. Splnění všech podmínek průběžné kontroly znalostí. Získání minimálně poloviny všech možných bodů z kontrolní práce, která se koná ve dvanáctém výukovém týdnu. Pokud student tuto podmínku nesplní, lze v odůvodněných případech stanovit podmínku náhradní. Zkouška: Zkouška prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost jejich užití na vybraných úlohách) a praktickou dovednost při řešení příkladů. Zkouška je písemná (příp. i ústní). Do klasifikačního hodnocení se zahrnuje výsledek písemné zkoušky. V odůvodněných případech lze přihlédnout také k výsledkům kontrolních prací v teoretickém cvičení. Klasifikační hodnocení studenta: výborně (90-100 bodů), velmi dobře (80-89 bodů), dobře (70-79 bodů), uspokojivě (60-69 bodů), dostatečně (50-59 bodů), nevyhovující (0-49 bodů). Bodové hodnocení může být modifikováno, avšak při zachování výše uvedených poměrů.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je kontrolovaná. Výuka probíhá dle týdenních plánů rozvrhů. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vedoucího cvičení.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 3 hod.
    Cvičení  13 × 3 hod.
Osnova:
    Přednáška 1. Číselné řady. Kritéria konvergence. Absolutní a neabsolutní konvergence.
2. Funkční řady. Bodová a stejnoměrná konvergence.
3. Mocninné řady. Poloměr konvergence. Vlastnosti mocninných řad.
4. Taylorovy řady a rozvoje funkcí v Taylorovy řady.
5. Fourierovy řady. Otázky konvergence a rozvoje funkcí.
6. ODR. Základní pojmy. Druhy řešení. Počáteční a okrajový problém.
7. Analytické metody řešení ODR 1. řádu. Otázka existence a jednoznačnosti řešení.
8. ODR vyššího řádu. Vlastnosti řešení lineárních ODR vyššího řádu.
9. Metody řešení lineárních ODR vyššího řádu.
10. Okrajový problém pro ODR 2. řádu.
11. Soustavy ODR 1. řádu. Vlastnosti řešení lineárních soustav ODR 1. řádu.
12. Metody řešení lineárních soustav ODR 1. řádu.
13. Stabilita řešení ODR a jejich soustav.
    Cvičení 1. Limity a integrály-opakování.
2. Číselné řady.
3. Funkční řady.
4. Mocninné řady.
5. Taylorovy řady.
6. Fourierovy řady.
7. Analytické metody řešení ODR 1. řádu.
8. Aplikace ODR1.
9. Homogenní lineární ODR vyššího řádu.
10. Nehomogenní lineární ODR vyššího řádu.
11. Aplikace lineárních ODR vyššího řádu.
12. Homogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.
13. Nehomogenní soustavy lineárních ODR 1. řádu.
Literatura - základní:
1. Fichtengolc, G.M.: Kurs differencialnogo i integralnogo isčislenija, tom II, Moskva, 1966.
2. Fichtengolc, G.M.: Kurs differencialnogo i integralnogo isčislenija, tom III, Moskva, 1966.
3. Hartman, P.: Ordinary differential equations, New York, 1964.
Literatura - doporučená:
1. Kalas, J., Ráb, M.: Obyčejné diferenciální rovnice, Brno, 1995.
2. Čermák, J., Ženíšek, A.: Matematika III, Brno, 2001.
3. Ženíšek, A.: Vybrané kapitoly z matematické analýzy, Brno, 1997.
4. Čermák, J.: Sbírka příkladů z Matematické analýzy III a IV, Brno, 1998.
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
B3A-P prezenční studium B-MAI Matematické inženýrství -- zá,zk 8 Povinný 1 2 Z
B3A-P prezenční studium B-FIN Fyzikální inženýrství a nanotechnologie -- zá,zk 7 Povinný 1 2 Z