Matematická logika (FSI-SML)

Akademický rok 2012/2013
Garant: prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc.  
Garantující pracoviště: ÚM všechny předměty garantované tímto pracovištěm
Jazyk výuky: čeština
Cíle předmětu:
Cílem předmětu je seznámit studenty se základními metodami uvažování v matematice. Studenti by si měli osvojit obecné principy predikátové logiky a získat tak schopnost přesného matematického uvažování a vyjadřování. Také by se měli naučit pracovat s některými dalšími důležitými formálními teoriemi využívanými v matematice a informatice.
Výstupy studia a kompetence:
Po absolvování předmětu získají studenti schopnost chápání principů axiomatických matematických teorií i schopnost přesného (formálního) matematického vyjadřování. Naučí se také formálně odvozovat nové formule a dokazovat formule dané. Uvědomí si efektivitu formálního uvažování, ale také jeho hranice.
Prerekvizity:
Předpokládá se znalost předmětů Obecná algebra a Metody diskrétní matematiky z balkalářského studia.
Obsah předmětu (anotace):
V předmětu budou systematicky vyloženy základy výrokové a zejména predikátové logiky. Nejprve budou studenti seznámeni se syntaxí a sémantikou těchto logik, pak budou logiky studovány jako formální teorie s důrazem na problematiku dokazování formulí. Prodiskutovány budou také klasické věty o korektnosti, úplnosti a kompaktnosti. Po probrání převodu formulí na prenexní tvar budou uvedeny některé vlastnosti a modely teorií 1. řádu. Pozornost bude také věnována nerozhodnutelnosti teorií 1. řádu vyplývající ze známých Gödelových vět o neúplnosti. Závěrem předmětu bude pojednáno o některých dalších významných logikách, které nacházejí uplatnění v matematice a informatice.
Metody vyučování:
Metody vyučování jsou standardní v souladu s článkem 7 Studijního a zkušebního řádu VUT.
Způsob a kritéria hodnocení:
Zápočet bude udělen na základě aktivní účasti ve cvičení a úspěšného složení písemného testu v půli semestru. Zkouška proběhne písemnou formou na konci semestru.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky:
Bude kontrolována účast na cvičeních.
Typ (způsob) výuky:
    Přednáška  13 × 2 hod. nepovinná                  
    Cvičení  13 × 2 hod. povinná                  
Osnova:
    Přednáška 1. Základy teorie množin a kardinální aritmetiky
2. Jazyk, formule a sémantika výrokové logiky
3. Formální systém výrokové logiky
4. Dokazatelnost ve výrokové logice, věta o úplnosti
5. Jazyk predikátové logiky, termy a formule
6. Sémantika predikátové logiky
7. Formální systém predikátové logiky 1. řádu
8. Dokazatelnost v predikátové logice
9. Věta o úplnosti a o kompaktnosti, prenexní tvar formulí
10.Teorie 1. řádu a jejich modely
11.Nerozhodnutelnost teorií prvního řádu, Gödelovy věty o neúplnosti
12.Teorie 2. řádu (monadická logika, SkS a WSkS)
13.Některé další logiky (intuicionistická, modální a temporální logika, Presburgerova aritmetika)
    Cvičení 1. Relační systémy a univerzální algebry
2. Množiny, kardinální čísla a kardinální aritmetika
3. Výroky, výrokové spojky, pravdivostní tabulky, tautologie a kontradikce
4. Nezávislost logických spojek, axiomy výrokové logiky
5. Věta o dedukci a dokazování formulí výrokové logiky
6. Termy a formule predikátové logiky
7. Interpretace, splnitelnost a pravdivost
8. Axiomy a odvozovací pravidla predikátové logiky
9. Věta o dedukci a dokazování formulí v predikátové logice
10.Převody formulí na prenexní tvar
11.Teorie 1. řádu a jejich modely
12.Monadické logiky SkS a WSkS
13.Intuicionistická, modální a temporální logika, Presburgerova aritmetika
Literatura - základní:
1. E.Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, Chapman&Hall, 2001
2. J.Rachůnek, Logika, skriptum PřF UP Olomouc, 1986
3. A. Nerode, R.A. Shore, Logic for Applications, Springer-Verlag 1993
4. Vítězslav Švejnar, Logika - neúplnost,složitost a nutnost, Academia Praha, 2002
5. G. Metakides, A. Nerode, Principles of logic and logic programming, Elsevier, 1996
Literatura - doporučená:
1. J.Rachůnek, Logika, skriptum PřF UP Olomouc, 1986
Zařazení předmětu ve studijních programech:
Program Forma Obor Spec. Typ ukončení   Kredity     Povinnost     St.     Roč.     Semestr  
M2A-P prezenční studium M-MAI Matematické inženýrství -- zá,zk 4 Povinný 2 1 L