Detail předmětu
Matematika II-B
FSI-BM Ak. rok: 2027/2028 Letní semestr
Kurz je věnován základům diferenciálního a integrálního počtu funkcí více proměnných a základům teorie
obyčejných diferenciálních rovnic. Probírají se parciální derivace, diferenciál, extrémy funkcí více proměnných,
implicitní funkce, vícerozměrné integrály a jejich transformace a metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic
a jejich soustav. Významná část kurzu je věnována aplikacím studované látky v technických úlohách. Ve cvičeních
s počítačovou podporou se studenti učí využívat matematický software. Získané znalosti jsou předpokladem pro
studium navazujících odborných předmětů.
Jazyk výuky
čeština
Počet kreditů
7
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Vstupní znalosti
Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné.
Způsob zakončení předmětu a pravidla hodnocení studentů
Účast na přednáškách je doporučená. Účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Stanovení způsobu nahrazování zameškané výuky ve cvičeních je v kompetenci vedoucího cvičení.
V rámci cvičení jsou zařazeny dvě písemné zápočtové práce. Nutnou podmínkou udělení zápočtu je získání
alespoň poloviny z celkového počtu bodů z každé písemky. V případě, že student nezíská ze zápočtové písemky
alespoň polovinu bodů, má nárok si ji opravit (každou písemku právě jednou).
FORMA ZKOUŠEK:
Zkouška se bude skládat z písemné části, po které může následovat ústní část. Písemná část je hodnocena
maximálně 100 body. Při celkovém hodnocení předmětu může zkoušející zohlednit výsledky zápočtových písemek.
PRŮBĚH ZKOUŠKY:
Rozsah písemné části bude 90 – 120 minut dle náročnosti zadání. Písemná část bude obsahovat nejméně jeden početní příklad z každého z následujících témat:
1. Diferenciální počet funkcí více proměnných
2. Vícerozměrné integrály
3. Diferenciální rovnice
- Součástí písemné části mohou být i teoretické otázky z výše uvedených témat.
- Případná ústní část se zpravidla skládá z teoretických otázek a z diskuse k písemce. Student musí u každého
příkladu umět zdůvodnit svůj postup výpočtu – v opačném případě písemka nebude uznána a bude hodnocena
za nula bodů. Může být zadán doplňující (jednoduchý) příklad, který student okamžitě spočítá.
PRAVIDLA KLASIFIKACE HODNOCENÍ STUDENTA:
0-49 bodů: F
50-59 bodů: E
60-69 bodů: D
70-79 bodů: C
80-89 bodů: B
90-100 bodů: A
Učební cíle
Cílem předmětu je seznámit studenty se základy teorie matematických disciplín uvedených v anotaci kurzu tak, aby byli schopni studovat odborné předměty a řešit příslušné inženýrské problémy. Dalším úkolem předmětu je rozvíjet logické myšlení studentů.
Student získá základní znalosti v matematických disciplinách uvedených v anotaci kurzu, pochopí jejich logickou výstavbu a naučí se řešit matematické úlohy tak, aby byl schopen získané znalosti a dovednosti prokázat při řešení technických problémů. Dále se zdokonalí v používání matematického softwaru, který může sloužit jako nástroj pro výpočty nebo pro grafické výstupy řešených problémů.
Studijní opory
Přednáškové materiály, sbírky řešených příkladů, vzorová zadání zápočtových písemek a zkoušek a návody ke
cvičením s počítačovou podporou jsou k dispozici v e-learningu VUT .
Použití předmětu ve studijních plánech
Program B-ENE-P: Energetika, bakalářský, povinný
Program B-PRP-P: Profesionální pilot, bakalářský, povinný
Program B-PDS-P: Průmyslový design ve strojírenství, bakalářský, povinný
Program B-STR-P: Strojírenství, bakalářský
specializace AIŘ: Aplikovaná informatika a řízení, povinný
Program B-STR-P: Strojírenství, bakalářský
specializace KSB: Kvalita, spolehlivost a bezpečnost, povinný
Program B-STR-P: Strojírenství, bakalářský
specializace SSZ: Stavba strojů a zařízení, povinný
Program B-STR-P: Strojírenství, bakalářský
specializace STG: Strojírenská technologie, povinný
Typ (způsob) výuky
Přednáška
39 hod., nepovinná
Osnova
1. Funkce více proměnných, jejich základní vlastnosti. Limita a spojitost. Parciální derivace.
2. Gradient, směrová derivace, diferenciál, tečná rovina.
3. Taylorův polynom a Taylorova věta. Lokální extrémy.
4. Vázané extrémy (metoda Lagrangeových multiplikátorů), globální extrémy.
5. Implicitní funkce. Vícerozměrné integrály, definice, základní vlastnosti.
6. Fubiniho věta, výpočet integrálů na elementární (normální) oblasti.
7. Transformace vícerozměrných integrálů do polárních a cylindrických souřadnic.
8. Transformace trojných integrálů do sférických souřadnic. Aplikace vícerozměrných integrálů.
9. Obyčejné diferenciální rovnice (ODR), základní pojmy, existence a jednoznačnost řešení, analytické
metody řešení ODR 1. řádu.
10. ODR vyšších řádů, vlastnosti a metody řešení lineárních ODR vyššího řádu. Soustavy ODR 1. řádu.
11. Vlastnosti a metody řešení lineárních soustav ODR 1. řádu.
12. Aplikace ODR.
13. Okrajový problém pro ODR 2. řádu.
Cvičení
33 hod., povinná
Osnova
1. Opakování diferenciálního počtu funkce jedné proměnné – zejména derivace, neurčité a určité integrály.
2. Funkce více proměnných, definiční obor, limita a spojitost. Parciální derivace.
3. Gradient, směrová derivace, diferenciál, tečná rovina.
4. Taylorův polynom. Lokální extrémy.
5. Vázané extrémy (metoda Lagrangeových multiplikátorů), globální extrémy.
6. Implicitní funkce. Vícerozměrné integrály, základní vlastnosti.
7. Fubiniho věta, výpočet integrálů na elementárních (normálních) oblastech.
8. Transformace vícerozměrných integrálů do polárních a cylindrických souřadnic.
9. Transformace do sférických souřadnic. Aplikace vícerozměrných integrálů.
10. ODR 1. řádu, analytické metody řešení.
11. Lineární ODR vyšších řádů.
12. Lineární soustavy ODR 1. řádu.
13. Aplikace ODR.
Cvičení s počítačovou podporou
6 hod., povinná
Osnova
Počítačová podpora probíhá za použití vhodného matematického softwaru. Procvičovaná témata odpovídají obsahu předmětu.