Detail předmětu

Optimalizační metody I

FSI-FOA-A Ak. rok: 2027/2028 Letní semestr

Předmět poskytuje systematický úvod do matematické optimalizace a výpočetních metod pro řešení optimalizačních úloh v inženýrské praxi. Zaměřuje se na formulaci optimalizačních problémů, analýzu jejich matematických vlastností a volbu vhodných algoritmů s ohledem na strukturu úlohy, výpočetní náročnost a dostupné informace.

Úvodní část je věnována jednorozměrné a vícerozměrné spojité optimalizaci, metodám prvního a druhého řádu a přímým a stochastickým metodám nevyžadujícím znalost derivací. Následuje výklad populačních optimalizačních algoritmů, základů konvexní optimalizace, podmínek optimality, duality a metod vnitřního bodu. Další část zahrnuje lineární a celočíselné programování, simplexovou metodu, metodu větví a mezí a metody řezných rovin.

Závěrečná část předmětu se zabývá vícekriteriální optimalizací, optimalizací výpočetně náročných úloh pomocí náhradních modelů a optimalizací s neurčitými daty.

Výuka propojuje matematické principy optimalizačních metod s jejich implementací a experimentálním vyhodnocováním. Studenti řeší vybrané optimalizační úlohy, porovnávají chování různých algoritmů a posuzují vhodnost jejich použití pro konkrétní problémy.

Jazyk výuky

angličtina

Počet kreditů

5

Garant předmětu

doc. Ing. Jakub Kůdela, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav automatizace a informatiky

Vstupní znalosti

Předpokládá se znalost základů lineární algebry, zejména operací s vektory a maticemi, řešení soustav lineárních rovnic a základních vlastností matic.

Z matematické analýzy je požadována znalost diferenciálního počtu funkcí jedné a více proměnných, včetně výpočtu gradientu, parciálních derivací a Hessovy matice. Dále se předpokládají základy pravděpodobnosti a matematické statistiky.

Student by měl být schopen samostatně formulovat jednoduchý matematický problém, interpretovat jeho řešení a implementovat základní numerické algoritmy ve vhodném programovacím prostředí.

Způsob zakončení předmětu a pravidla hodnocení studentů

Požadavky pro zápočet: Aktivní účast na cvičeních, zpracování zadaného projektu. Zkouška: Písemná.
Kontrolována je účast na cvičeních. Zameškaná výuka může být nahrazena zpracováním zadaných úloh.

Učební cíle

Po úspěšném absolvování předmětu student:

  1. Formuluje a klasifikuje matematické optimalizační úlohy, identifikuje účelovou funkci, rozhodovací proměnné a omezení a na základě vlastností problému zdůvodní volbu vhodné optimalizační metody.

  2. Aplikuje a analyzuje vybrané metody jednorozměrné a vícerozměrné spojité optimalizace, včetně metod prvního a druhého řádu, a vyhodnotí jejich konvergenci, přesnost a výpočetní náročnost.

  3. Posoudí konvexnost optimalizační úlohy, použije základní podmínky optimality a dualitu a řeší vybrané úlohy s omezeními pomocí metod vnitřního bodu, lineárního programování a simplexové metody.

  4. Formuluje a řeší vybrané celočíselné a kombinatorické optimalizační úlohy a vysvětlí principy metody větví a mezí a metod řezných rovin.

  5. Implementuje a experimentálně porovná vybrané přímé, stochastické a populační optimalizační algoritmy a vyhodnotí kvalitu dosažených řešení, výpočetní náročnost a citlivost na nastavení parametrů.

  6. Použije a vyhodnotí vybrané přístupy k vícekriteriální optimalizaci, optimalizaci pomocí náhradních modelů a optimalizaci s neurčitými daty a interpretuje jejich výsledky v kontextu řešeného problému.

Studijní opory

Studentům jsou poskytnuty výukové prezentace, zadání cvičení, ukázkové výpočty, implementace vybraných optimalizačních algoritmů a testovací optimalizační úlohy. Materiály jsou zpřístupňovány prostřednictvím univerzitního e-learningového prostředí. 

Použití předmětu ve studijních plánech

Program N-AIŘ-P: Aplikovaná informatika a řízení, magisterský navazující, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Osnova

1. Úvod do optimalizace.
2. Optimalizační metody pro úlohy v 1D.
3. Metody prvního a druhého řádu.
4. Přímé a stochastické metody.
5. Populační metody a metaheuristiky.
6. Konvexnost, KKT podmínky a dualita.
7. Metody vnitřního bodu.
8. Lineární programování.
9. Simplexová metoda.
10. Celočíselné a kombinatorické úlohy, metoda větví a mezí, Gomoryho řezy.
11. Vícekriteriální optimalizace.
12. Optimalizace s použitím náhradních modelů.
13. Optimalizace s neurčitými daty.

Cvičení

12 hod., povinná

Osnova

Implementace a analýza následujích metod:
1. – 2. Metody pro 1D optimalizaci.
3. Metody prvního řádu.
4. Metody druhého řádu.
5. Přímé metody.
6. Stochastické metody.
7. Populační metody, metaheuristiky.
8. Metody vnitřního bodu.
9. Simplexová metoda.
10. Metoda větví a mezí, Gomoryho řezy.
11. Metody vícekriteriální optimalizace.
12. Metody pro optimalizaci s použitím náhradních modelů.
13. Metody pro optimalizaci na neurčitých datech.

Cvičení s počítačovou podporou

14 hod., povinná

Osnova

Implementace a analýza následujích metod:
1. – 2. Metody pro 1D optimalizaci.
3. Metody prvního řádu.
4. Metody druhého řádu.
5. Přímé metody.
6. Stochastické metody.
7. Populační metody, metaheuristiky.
8. Metody vnitřního bodu.
9. Simplexová metoda.
10. Metoda větví a mezí, Gomoryho řezy.
11. Metody vícekriteriální optimalizace.
12. Metody pro optimalizaci s použitím náhradních modelů.
13. Metody pro optimalizaci na neurčitých datech.