Detail předmětu

Mechanika kontinua

FSI-S1K Ak. rok: 2027/2028 Zimní semestr

V předmětu se studenti stručně seznámí se základními pojmy, zákony a způsoby řešení některých úloh mechaniky kontinua, konkrétně s teorií pružnosti jako její rozsáhlou podoblastí. Na začátku kurzu budou definovány veličiny napětí a deformace v bodě kontinua, jejich vlastnosti a zákony, kterými se musí řídit. Bude následovat formulace okrajových úloh pružnosti, podmínky jednoznačnosti jejich řešení a budou formulovány jejich zjednodušené rovinné a jednodimenzionální formy. V další části kurzu se studenti seznámí s některými klasickými metodami řešení rovinných a jednodimenzionálních okrajových úloh. V druhé polovině kurzu budou představeny pojmy energie a práce v mechanice kontinua, princip jejich virtualizace a následné využití v řešení okrajových úloh pružnosti pomocí variačních metod. Stručný popis teoretických základů teorie pružnosti bude doplněn řešenými příklady z jednodimenzionální a rovinné pružnosti.

Jazyk výuky

čeština

Počet kreditů

4

Garant předmětu

doc. Ing. Tomáš Profant, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky

Vstupní znalosti

Z oblasti mechaniky: Znalost základních pojmů pružnosti a pevnosti I, příp. II (napětí, deformace, Hookův zákon).

Z oblasti matematiky: Obyčejné diferenciální rovnice, parciální diferenciální rovnice, integrální počet, základy teorie funkcí komplexní proměnné.

Způsob zakončení předmětu a pravidla hodnocení studentů

Požadavky pro zkoušku:

  • maximální/minimální počet bodů 100/50,
  • písemný přehledový test základních znalostí a pojmů (40 bodů),
  • písemné řešení 2 příkladů (2x30 bodů),
  • ústní diskuse nad písemnými materiály s případnou doplňkovou otázkou.

Podmínky k udělení zápočtu:

  • aktivní účast na cvičeních,
  • dobré výsledky průběžné kontroly základních znalostí,
  • vyřešení náhradních úloh v případě omluvené neúčasti.

Konkrétní podobu splnění těchto požadavků stanovuje vedoucí cvičení v prvním týdnu semestru. Účast na cvičení je povinná. Vedoucí cvičení provádějí průběžnou kontrolu přítomnosti studentů, jejich aktivity a základních znalostí. Neomluvená neúčast je důvodem k neudělení zápočtu. Jednorázovou neúčast je možno nahradit zadáním náhradních úloh, delší neúčast se nahrazuje vypracováním náhradních úloh podle pokynů cvičícího.

Učební cíle

Cílem předmětu Mechanika kontinua je seznámit posluchače se základními pojmy, vztahy formulacemi a řešením okrajových úloh pružnosti. Vedle klasické formulace úloh je kladen důraz na variační formulaci problémů jako teoretickou průpravu k budoucímu používání vyspělých numerických nástrojů v technické praxi. Obecné rovnice a úlohy pružnosti budou nejdříve zredukovány na rovinné úlohy pro izotropní i anizotropní materiály, jejichž řešení je historicky úzce svázáno s tzv. komplexními potenciály. Ty hrají klíčovou roli v lomové mechanice. Dalším zjednodušením obecných rovnic pružnosti na jednodimenzionální, posluchači navážou na teorii z kurzů klasické pružnosti prutů, avšak s rozšířením a důrazem na energetické a variační principy a metody výpočtu napětí a deformace prutů. Jde o metody založené na principu virtuálních posunutí a napětí a variaci deformační a doplňkové energie. Cílem a završením kurzu jsou tzv. přímé variační metody, které tvoří základ metody konečných prvků, a jejich aplikace na jednodimenzionální problémy pružnosti.

Použití předmětu ve studijních plánech

Program N-MAI-P: Matematické inženýrství, magisterský navazující, volitelný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Osnova


  1. Kinetika – napětí v bodě.

  2. Kinematika – deformace v bodě.

  3. Zákony termodynamiky.

  4. Zobecněný Hookův zákon, hustota deformační energie, termoelastické konstitutivní rovnice.

  5. Okrajové úlohy mechaniky kontinua, existence a jednoznačnost řešení, rovnice namáhání prutů tahem, ohybem, krutem a rovinná pružnost.

  6. Anizotropní rovinná pružnost – LES formalismus a jeho aplikace v lomové mechanice.

  7. Izotropní rovinná pružnost – Muschelišviliho komplexní potenciály a jejich aplikace v lomové mechanice.

  8. Práce a energie, deformační energie a doplňková deformační energie, Hamiltonův princip.

  9. Metoda virtuálního posunutí, virtuálního zatížení, Castiglianova první a druhá věta, Bettiho a Maxwellovy věty o vzájemnosti prací.

  10. Přímé variační metody – Ritzova a Galerkinova metoda.

  11. Metoda konečných prvků.

  12. Metoda konečných prvků.

  13. Diskuse a závěr semestru.


Cvičení

39 hod., povinná

Osnova


  • Kinetika – napětí v bodě (1.-2. cvičení).

  • Kinematika – deformace v bodě (3. cvičení).

  • Okrajové úlohy mechaniky kontinua, existence a jednoznačnost řešení, rovnice namáhání prutů tahem, ohybem, krutem a rovinná pružnost (4.-5. cvičení).

  • Anizotropní rovinná pružnost – LES formalismus a jeho aplikace v lomové mechanice (6.-7. cvičení).

  • Izotropní rovinná pružnost – Muschelišviliho komplexní potenciály a jejich aplikace v lomové mechanice (8. cvičení).

  • Práce a energie, deformační energie a doplňková deformační energie, Hamiltonův princip (9. cvičení).

  • Metoda virtuálního posunutí, virtuálního zatížení, Castiglianova první a druhá věta, Bettiho a Maxwellovy věty o vzájemnosti prací (10.-11. cvičení).

  • Přímé variační metody – Ritzova a Galerkinova metoda (12.-13. cvičení).