Detail předmětu
Numerické metody
FSI-2NU Ak. rok: 2027/2028 Letní semestr
Předmět Numerické metody seznámí studenty se základní kolekcí úloh numerické matematiky. Poukáže na záludnosti numerických výpočtů (chyby, podmíněnost a stabilita algoritmů), uvede studenty do problematiky řešení soustav lineárních i nelineárních rovnic, seznámí je s interpolací, metodou nejmenších čtverců, numerickým derivováním, integrováním a nepodmíněnou minimalizací.
Jazyk výuky
čeština
Počet kreditů
4
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Vstupní znalosti
Pro úspěšné absolvování předmětu se vyžadují znalosti v rozsahu základních kurzů matematiky: diferenciální a integrální počet, základy lineární algebry (vektorové prostory, matice, řešení soustav) a základní dovednosti s programováním a algoritmizací.
Způsob zakončení předmětu a pravidla hodnocení studentů
Kontrola a náhrada výuky: Účast ve cvičení je povinná a kontrolovaná. Stanovení způsobu náhrady zameškané výuky je v kompetenci vedoucího cvičení.
Podmínky pro udělení zápočtu: Povinná a kontrolovaná účast ve cvičeních. Úspěšné absolvování dvou kontrolních písemných prací během semestru (z každé písemné práce lze získat 0 až 10 bodů, celkem max. 20 bodů). Podmínkou pro udělení zápočtu je zisk alespoň 10 bodů v součtu z obou testů.
Zkouška a klasifikace: Zkouška probíhá písemnou formou a skládá se z praktické části (řešení číselných příkladů s využitím kalkulačky) a teoretické části (zjišťování pochopení podstaty probrané látky). Za zkoušku může student obdržet 0 až 100 bodů.
Do výsledného hodnocení se zahrnuje zejména výsledek písemné zkoušky, přičemž se může přihlížet i k výsledkům zápočtových testů a k případné ústní rozpravě.
Hodnotící stupnice: 100--90: A (výborně), 89--80: B (velmi dobře), 79--70: C (dobře), 69--60: D (uspokojivě), 59--50: E (dostatečně), 49--0: F (nevyhovující).
Učební cíle
Cílem předmětu Numerické metody je seznámit studenty se základními postupy řešení vybraných numerických problémů a vybavit je schopností samostatně tyto problémy řešit jak „ručně“, tak pomocí počítače. Studenti pochopí podstatné vlastnosti jednotlivých numerických metod, což jim umožní efektivní volbu vhodné metody a odpovídajícího softwarového produktu.
Absolvent předmětu získá přehled o základních úlohách numerické matematiky, rizikách numerických výpočtů (zaokrouhlovací chyby, podmíněnost, numerická stabilita) a zvládne praktické řešení lineárních a nelineárních rovnic, interpolace, aproximace metodou nejmenších čtverců, numerického derivování a integrování i nepodmíněné minimalizace.
Použití předmětu ve studijních plánech
Program B-FIN-P: Fyzikální inženýrství a nanotechnologie, bakalářský, povinný
Program B-KSI-P: Konstrukční inženýrství, bakalářský, povinně volitelný
Program B-MET-P: Mechatronika, bakalářský, povinný
Program B-ZSI-P: Základy strojního inženýrství, bakalářský
specializace STI: Základy strojního inženýrství, povinný
Typ (způsob) výuky
Přednáška
13 hod., nepovinná
Osnova
Osnova přednášek (celkem 13 hodin přímé výuky):
Přednášky probíhají blokově v průběhu semestru dle stanoveného rozvrhu fakulty (celková výuková dotace 13 hodin).
1. Úvod do problematiky numerických metod: Chyby v numerických výpočtech, podmíněnost úloh, stabilita algoritmů. Řešení soustav lineárních rovnic: Gaussova eliminační metoda, LU rozklad, výběr hlavních prvků.
2. Řešení soustav lineárních rovnic: vliv zaokrouhlovacích chyb, podmíněnost. Iterační metody (Jacobiova, Gaussova-Seidelova, SOR).
Aproximace funkcí: Lagrangeův, Newtonův a Hermitův interpolační polynom.
3. Aproximace funkcí: Interpolace po částech lineární, po částech kubická Hermitova. Kubický interpolační splajn. Metoda nejmenších čtverců.
4. Numerické derivování: Základní formule, Richardsonova extrapolace.
Numerické integrování: Základní formule (obdélníková, lichoběžníková, Simpsonova). Gaussovy formule. Složené formule. Adaptivní integrace.
5. Řešení jedné nelineární rovnice: metoda bisekce, Newtonova metoda, metoda sečen, metoda regula falsi, metoda inverzní kvadratické interpolace, metoda prosté iterace. Řešení soustav nelineárních rovnic: Newtonova metoda, metoda prosté iterace.
6. Jednorozměrná minimalizace funkcí jedné i více proměnných: metoda zlatého řezu, metoda kvadratické interpolace, Nelderova-Meadova metoda, metoda největšího spádu, Newtonova metoda.
Cvičení s počítačovou podporou
26 hod., povinná
Osnova
Náplň cvičení prakticky navazuje na témata z přednášek a věnuje se implementaci i ručnímu výpočtu jednotlivých algoritmů.