Detail předmětu
Numerická matematika I
FSI-9NM1 Ak. rok: 2027/2028 Zimní semestr
Úvodní kurz numerických metod se věnuje následujícím tématům: numerické výpočty, přímé a iterační metody řešení lineárních rovnic, interpolace, metoda nejmenších čtverců, numerické derivování a integrování, nelineární rovnice, výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů.
Jazyk výuky
čeština
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Vstupní znalosti
Pro úspěšné absolvování předmětu se předpokládají znalosti v rozsahu základních kurzů vysokoškolské matematiky: základy lineární algebry (vektorové prostory, maticový počet), diferenciálního a integrálního počtu funkcí jedné i více proměnných.
Způsob zakončení předmětu a pravidla hodnocení studentů
Forma ukončení: Doktorská zkouška.
Průběh zkoušky: Zkouška probíhá ústní formou. Student si losuje tři otázky: 1. okruh z lineární algebry, 2. okruh z nelineárních rovnic, 3. okruh z interpolace, numerického derivování a integrování.
Docházka a kontrola výuky: Účast na přednáškách je doporučená. Způsob případné náhrady zameškané výuky stanovuje přednášející po dohodě se studentem.
Klasifikace: Výsledná klasifikace se řídí příslušnou stupnicí SZŘ VUT na základě úspěšného zodpovězení položených otázek.
Učební cíle
Studenti získají základní znalosti z numerických metod lineární algebry, řešení nelineárních rovnic, interpolace, numerického derivování a integrování. Absolvent předmětu bude schopen správně vybrat vhodný numerický software z nabízených nástrojů na trhu (případně navrhnout vlastní algoritmické řešení) a efektivně jej aplikovat při řešení specifických inženýrských a technických problémů.
Použití předmětu ve studijních plánech
Program D-ENE-P: Energetické inženýrství, doktorský, povinně volitelný
Typ (způsob) výuky
Přednáška
20 hod., nepovinná
Osnova
1. Úvod do numerické matematiky: základní vlastnosti matic, chyby, podmíněnost problémů a algoritmů.
2. Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic: Gaussova eliminační metoda, pivotování, LU-rozklad, Choleského rozklad, podmíněnost.
3. Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic: klasické iterační metody (Jacobiova, Gaussova-Seidelova, SOR, SSOR), zobecněná metoda minimálních reziduí, metoda sdružených gradientů.
4. Interpolace: Lagrangeův, Newtonův a Hermitův interpolační polynom, interpolační splajny.
5. Metoda nejmenších čtverců: prokládání dat křivkami, řešení přeurčených soustav lineárních rovnic (QR rozklad, pseudoinverze, metody ortogonalizace).
6. Numerické derivování: základní formule, Richardsonova extrapolace.
7. Numerické integrování: Newtonovy-Cotesovy formule, Gaussovy formule, adaptivní integrace.
8. Řešení nelineárních rovnic: jedna rovnice (metoda bisekce, Newtonova metoda, metoda sečen, metoda regula falsi, metoda inverzní kvadratické interpolace, Brentova metoda); soustavy nelineárních rovnic (Newtonova metoda a její modifikace, metoda prosté iterace).
9. Vlastní čísla a vlastní vektory: mocninná metoda, QR metoda.
10. Vlastní čísla a vlastní vektory: Arnoldiho metoda, Jacobiho metoda, metoda bisekce, výpočet singulárního rozkladu.