Detail předmětu

Matematická robotika

FSI-SMR-A Ak. rok: 2027/2028 Zimní semestr

Předmět je zaměřen na vybudování pokročilého matematického aparátu pro robotické aplikace (algebra říditelnosti, Chow–Rashevského věta,
nilpotentní aproximace). Pokrývá teorii Lieových grup a algeber (SO(3), SE(3), exponenciální zobrazení, Lieovy závorky) pro reprezentaci pohybu
tuhého tělesa, geometrickou algebru (multivektory, rotory, PGA/CGA) pro efektivní formulaci kinematiky a Riemannovu i sub-Riemannovu geometrii
(Hamiltonián, Pontrjaginův maximalizační princip ) pro popis neholonomních vazeb a řízení. Poznatky nacházejí přímé uplatnění při analýze a řízení
robotických manipulátorů, řízení neholonomních mechanismů, optimalizaci trajektorií a obcházení singularit.

Jazyk výuky

angličtina

Počet kreditů

5

Garant předmětu

doc. Mgr. Jaroslav Hrdina, Ph.D.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky

Vstupní znalosti

Základy lineární algebry (optimálně předměty SLA, SLB)

Způsob zakončení předmětu a pravidla hodnocení studentů

Podmínky udělení zápočtu: aktivní účast ve cvičeních, zvládnutí celé látky, klasifikace všech kontrolních prací dostatečná anebo lepší. Může být nahrazeno semestrálním projektem.


Zkouška: písemná a ústní forma. Písemná část obsahuje sérii příkladů pokrývající odpřednášenou látku a je hodnocena 0-80 body. Ústní část ověří teoretické znalosti a schopnost se orientovat v tématu 0-20 bodů.

Učební cíle

Seznámení studentů se základním matematickým aparátem pro návrh a řízení robotických systémů, zejména robotických manipulátorů, ale i neholonomních mechanismů různého typu. Absolvent předmětu by měl být schopný řešit dopřednou i inverzní kinematiku, hledat optimální řízení a diskutovat singularity zvolených mechanismů prostředky moderní lineární algebry a geometrie.

Studijní opory

elearning

Použití předmětu ve studijních plánech

Program N-MAI-A: Mathematical Engineering, magisterský navazující, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

26 hod., nepovinná

Osnova


  • Téma 1: Lieova grupa pohybu tuhého tělesa. Aparát grup SO(3) a SE(3) pro nesingulární popis rotací a tuhých transformací v prostoru.

  • Téma 2: Geometrie šroubového pohybu tělesa. Lieova algebra so(3), Rodriguesův vzorec a koncepce twistů Lieovy algebry se(3).

  • Téma 3: Kinematika rychlostí, silové působení a reciproční šrouby. Prostorová a tělesová rychlost tuhého tělesa spojená prostřednictvím adjungované transformace Ad_g. Pojem wrenche pro zobecněné silové soustavy.

  • Téma 4: Dopředná a inverzní kinematika sériových manipulátorů. Dopředná kinematika otevřených kloubových řetězců pomocí součinu exponenciál (Product of Exponentials – POE).

  • Téma 5: Jacobián manipulátoru, singularity. Jacobián manipulátoru odvozený z POE. Identifikace kinematických singularit, měření manipulability a rozšíření na redundantní i paralelní mechanické struktury.

  • Téma 6: Úvod do neholonomních vazeb. Neholonomní (neintegrovatelné) Pfaffovy vazby, robotické systémy spojené s odvalováním bez prokluzu či zachováním hybnosti. Podmínky testování integrability a dosažitelnosti konfigurací.

  • Téma 7: Neholonomní systémy a řízení pomocí sinusoid. Kanonické řídicí systémy bez driftu ( Brockettův systém, systémy v řetězovém tvaru (chained form)). Využití harmonických řídicích signálů (sinusoid) ke generování pohybu ve směru Lieových závorek.

  • Téma 8: Obecné metody plánování neholonomní trajektorie. Pokročilé algoritmy pro řízení neholonomních systémů využitím nilpotentní aproximace a převodu do řetězového tvaru.

  • Téma 9: Hamiltonovy kvaterniony a Cliffordovy biquaterniony. Reprezentace prostorových rotací pomocí jednotkových Hamiltonových kvaternionů. Duální kvaterniony (Cliffordovy biquaterniony popisující kompletní eukleidovský pohyb SE(3)

  • Téma 10: Projektivní (PGA) a konformní (CGA) geometrická algebra. Rozšiření eukleidovského prostoru o prvek v nekonečnu pomocí PGA. Začlenění sférických objektů a kružnic pomocí CGA.

  • Téma 11: Popis a analýza robotických systémů. Sestavování kinematického řetězce pomocí PGA, inverzní kinematika pomocí CGA.

  • Téma 12: Téma 17. Vizuální servoing a zpětnovazební řízení z kamerových dat. Řízení pohybu robotu na základě vizuální informace z kamer v uzavřené smyčce. Binokulární vidění.

  • Téma 13. Dopňující volitelné téma – rezerva

Cvičení

26 hod., povinná

Osnova

pokrývá vždy téma aktuální přednášky