Detail předmětu
Mechanika kontinua
FSI-S1K Ak. rok: 2026/2027 Zimní semestr
V předmětu se studenti stručně seznámí se základními pojmy, zákony a způsoby řešení některých úloh mechaniky kontinua, konkrétně s teorií pružnosti, jako její široké podoblasti. Na začátku kurzu budou definovány pojmy napětí a deformace v bodě kontinua, jejich vlastnosti a zákony, kterými se musí řídit. Bude následovat formulace okrajových úloh pružnosti, podmínky jednoznačnosti jejich řešení a budou formulovány jejich zjednodušené rovinné a jednodimenzionální formy. V této části kurzu se studenti seznámí i s některými klasickými metodami řešení rovinných a jednodimenzionálních okrajových úloh. V druhé polovině kurzu budou představeny pojmy energie a práce v mechanice kontinua, princip jejich virtualizace a následné využití v řešení okrajových úloh pružnosti pomocí variačních metod. Stručný popis teoretických základů teorie pružnosti bude doplněn řešenými příklady z jednodimenzionální a rovinné pružnosti.
Jazyk výuky
čeština
Počet kreditů
4
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Vstupní znalosti
Z oblasti mechaniky: Znalost základních pojmů pružnosti a pevnosti (napětí, hlavní napětí, deformace, přetvoření, Hookův zákon). Principy virtuálních posunutí a princip virtuálních prací.
Z oblasti matematiky: Parciální diferenciální rovnice 2. řádu. Základy variačního počtu. Základy funkcionální analýzy (funkcionální prostory, Hilbertův prostor L2).
Pravidla hodnocení a ukončení předmětu
Požadavky pro zkoušku:
– písemný přehledový test základních znalostí a pojmů
– písemné řešení 3 příkladů
– ústní diskuse nad písemnými materiály s případnou doplňkovou otázkou
Podmínky k udělení zápočtu:
- aktivní účast na cvičeních
- dobré výsledky průběžné kontroly základních znalostí
- vyřešení náhradních úloh v případě omluvené neúčasti
Konkrétní podobu splnění těchto požadavků stanovuje vedoucí cvičení v prvním týdnu semestru
Účast na cvičení je povinná. Vedoucí cvičení provádějí průběžnou kontrolu přítomnosti studentů, jejich aktivity a základních znalostí. Neomluvená neúčast je důvodem k neudělení zápočtu. Jednorázovou neúčast je možno nahradit zadáním náhradních úloh, delší neúčast se nahrazuje vypracováním náhradních úloh podle pokynů cvičícího.
Učební cíle
Cílem předmětu Mechanika kontinua I je seznámit posluchače se základními pojmy a vztahy kontinuální mechaniky pevné fáze a způsoby formulace a řešení okrajových úloh pružných a pružně plastických těles. Vedle klasické formulace úloh je kladen důraz také na variační formulaci problémů v návaznosti na další numerické řešení. Dalším cílem je pochopení základů teorie konečných deformací a konstitutivních rovnic, což skýtá lepší orientaci při aplikaci pokročilých systémů MKP umožňujících modelovat složité děje s uvažováním velkých přetvoření a nelineárních vlastností materiálů.
Studenti získají poznatky o základních metodách stanovení napjatosti a deformace u obecných těles, vycházejících z diferenciálního a variačního přístupu. Poznatky o fyzikální podstatě variační formulace úloh mechaniky kontinua umožňují v návaznosti na předmět Numerické metody III zvolit vhodnou metodiku přípravy numerického výpočtu. Osvojení základů teorie
konstitutivních rovnic vede k dobré orientaci mezi rozličnými materiálovými modely. Důležité jsou rovněž poznatky o negativním vlivu trhlin na životnost těles s trhlinami.
Použití předmětu ve studijních plánech
Program N-MAI-P: Matematické inženýrství, magisterský navazující, volitelný
Typ (způsob) výuky
Přednáška
39 hod., nepovinná
Osnova
1. Kinetika – napětí v bodě,
2. Kinematika – deformace v bodě.
3. Zákony termodynamiky.
4. Zobecněný Hookův zákon, hustota deformační energie, termoelastické konstitutivní rovnice.
5. Okrajové úlohy mechaniky kontinua, existence a jednoznačnost řešení, rovnice namáhání prutů tahem, ohybem, krutem a rovinná pružnost.
6. Izotropní rovinná pružnost – Muschelišviliho komplexní potenciály, a jejich aplikace v lomové mechanice.
7. Anizotropní rovinná pružnost – LES formalismus, a jeho aplikace v lomové mechanice.
8. Práce a energie, deformační energie a doplňková deformační energie, Hamiltonův princip.
9. Metoda vituálního posunutí, virtuálního zatížení, Castiglianova první a druhá věta, Bettiho a Maxwellovy věty o vzájemnosti prací.
10. Přímé variační metody – Ritzova a Galerikinova metoda.
11.-12. Metoda konečných prvků.
13. Diskuse a závěr semestru.
Cvičení
39 hod., povinná
Osnova
Kinematické veličiny mechaniky kontinua.
Tenzory napětí. Hlavní napětí, invarianty. Bilanční rovnice.
Konstitutivní rovnice v mechanice kontinua. Termodynamické zákony.
Hyperelastický materiál. Neo-Hookeův zákon, Mooney-Rivlinův zákon. Hookeův zákon pro izotropní a anizotropní tělesa.
Vybrané úlohy lineární 3D pružnosti.
Variační metody v teorii malých deformací.
Základní veličiny mechaniky kontinua v křivočarých souřadnicích.
Osově symetrické úlohy lineární pružnosti.
Řešení rovinných úloh pomocí Airyho funkce napětí.
Kruhové a mezikruhové desky.
Momentová válcová skořepina.
Rotačně symetrická membránová skořepina.
Vybrané jednoduché úlohy z teorie plasticity.
Numerické metody v úlohách pružnosti. Zápočet.