Prezenční studium

4 roky

prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.

Předseda :
prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.
Člen interní :
prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc.
prof. Ing. Ivan Křupka, Ph.D.
prof. RNDr. Miloslav Druckmüller, CSc.
doc. Mgr. Petr Vašík, Ph.D.
prof. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc., dr. h. c.
Člen externí :
doc. RNDr. Ing. Miloš Kopa, Ph.D.
prof. RNDr. Jan Paseka, CSc.
prof. RNDr. Roman Šimon Hilscher, DSc.
doc. RNDr. Tomáš Dvořák, CSc.

Doktorský studijní program Aplikovaná matematika významně prohloubí vědomosti studentů získané při studiu navazujícího magisterského studijního programu Matematické inženýrství na FSI VUT v Brně a dalších magisterských programů zaměřených na matematiku a její aplikace. Studenti tohoto doktorského programu mohou získat hluboké znalosti příslušného matematického aparátu ve všech oblastech aplikované matematiky, a to ve vazbě na řešení náročných úloh praxe (především technické). Tomu je také přizpůsobena nabídka odborných předmětů doktorského studijního programu Aplikovaná matematika, zahrnující předměty hlubšího teoretického základu, předměty související s aplikacemi matematiky, a konečně také předměty se speciálním inženýrským zaměřením.
Témata doktorských prací jsou vypisována především pracovníky Ústavu matematiky, přičemž podle povahy tématu mohou být zapojeni i odborníci z dalších ústavů FSI či jiných vědeckých institucí, a to jako školitelé-specialisté. Během svého doktorského studia se studenti stávají členy vědeckých týmů, které vede (nebo v nichž působí) vedoucí jejich práce. Zadané téma doktorské práce je pak obvykle součástí komplexnějšího problému, který tento tým řeší v rámci různých odborných projektů. Studenti se tak postupně naučí všem základním zásadám vědecké práce, především vytváření odborných textů a jejich publikování ve vědeckých časopisech, a prezentaci výsledků své vědecké práce na seminářích či konferencích. Samozřejmostí je přitom spolupráce se zahraničními pracovišti, kde studenti mohou získat další užitečné zkušenosti. Po úspěšném složení předepsané státní doktorské zkoušky, která prověřuje jednak znalosti teoretických základů potřebných ke zvládnutí tématu, ale také stav rozpracovanosti disertační práce a směr výzkumu prováděného v jejím rámci, se studenti zaměřují především na dokončení své práce. Pro její předložení k obhajobě musejí splnit požadavky související především s publikační aktivitou, jejichž smyslem je zajistit, aby disertační práce předložené k obhajobě v tomto studijním programu byly na srovnatelné úrovni s obhájenými pracemi na ostatních matematických pracovištích v ČR i v zahraničí. Po obhájení doktorské práce získávají studenti titul Ph.D.
Hlavním cílem tohoto doktorského studijního programu je vychovat odborníky v oblasti aplikované matematiky, kteří budou schopni pokračovat ve vědecké dráze započaté v rámci svého doktorského studia. Prostředkem k naplnění tohoto cíle je rozšíření vědomostí studentů o netriviální matematické nástroje potřebné pro modelování a řešení problémů praxe, a také prohloubení principů jejich matematického, logického a kritického myšlení.

Absolvent získá hluboké odborné znalosti z řady speciálních oblastí moderní aplikované matematiky, se zaměřením na vybrané partie analýzy obrazů, počítačové grafiky, aplikované topologie, 3D rekonstrukce a vizualizace obrazů, spojitých a diskrétních dynamických systémů, a pokročilých statistických metod. Bude mít také vysoký stupeň geometrického vnímání problémů s vazbou na inženýrské aplikace. Získá rovněž kvalitní znalosti z inženýrských disciplín souvisejících s tématem práce, a bude umět pracovat s moderními programovacími nástroji (Python, C++,...). Samozřejmostí je jazykové vybavení umožňující odbornou spolupráci se zahraničními pracovišti a prezentaci získaných výsledků na mezinárodním fóru.

V rámci své odborné způsobilosti absolvent umí vytvářet matematické modely inženýrských úloh a podle jejich charakteru vyhledávat a rozpracovávat vhodné matematické nástroje a postupy pro jejich řešení. Na vysoké úrovni umí používat matematický software a má osvojené programátorské dovednosti. V širším smyslu je absolvent schopen se podílet na řešení náročných úloh v oblasti technické praxe.

Z hlediska obecnějších dovedností je absolvent schopen samostatné tvůrčí vědecké práce. Osvojí si zásady týmové práce na vysoké odborné úrovni. Naučí se tým řídit po stránce odborné i administrativní, bude se orientovat také v projektové problematice. Může působit i jako matematik v multidisciplinárních týmech. Je schopen se na řešení výzkumných problémů nejen podílet, ale umí sám aktuální vědecké problémy vyhledávat a formulovat. Umí výsledky své práce prezentovat, a to jak formou vědeckých publikací, tak formou odborných přednášek.

Absolvent bude mít rozvinutou schopnost analytického myšlení, což mu v kombinaci se znalostí pokročilých metod aplikované matematiky a výpočetních technologií umožní bezproblémové zapojení do vědeckých týmů na různých typech akademických pracovišť, či v aplikační sféře.

Absolventi nacházejí široké uplatnění na trhu práce pro svoji adaptabilnost, která je umožněna rozsáhlými znalostmi aplikované matematiky. Zájem o tyto absolventy projevují firmy zabývající se vývojem na poli autonomních systémů, robotiky, automatizace či obrazové analýzy, a dále instituce zabývajících se vědou, výzkumem a inovacemi v oblasti informatiky, techniky, řízení kvality, finanční sféře a oblasti zpracování dat. Významné uplatnění nacházejí absolventi tohoto doktorského studijního programu také v akademické sféře. Kromě Ústavu matematiky FSI (mezi jehož zaměstnanci dosahuje podíl absolventů doktorského studijního programu Aplikovaná matematika téměř jedné čtvrtiny) pracují v současné době tito absolventi jako akademičtí pracovníci na dalších ústavech FSI, na dalších fakultách VUT i na dalších vysokých školách. Přetrvávající zájem o tyto absolventy je dán, kromě adaptibility v různých oblastech aplikované matematiky, především jejich vědeckou erudicí (v řadě případů jsou tito absolventi již habilitováni, a ve stále více sledovaných ukazatelích publikační aktivity jsou často na špičce příslušných vzdělávacích institucí).

Viz platné předpisy, Směrnice děkana Pravidla pro organizaci studia na fakultě (doplněk Studijního a zkušebního řádu VUT v Brně).

Pravidla a podmínky pro tvorbu studijních programů určují:
ŘÁD STUDIJNÍCH PROGRAMŮ VUT,
STANDARDY STUDIJNÍCH PROGRAMŮ VUT,
STUDIJNÍ A ZKUŠEBNÍ ŘÁD VUT,
SMĚRNICE DĚKANA Pravidla pro organizaci studia na fakultě (doplněk Studijního a zkušebního řádu VUT v Brně),
SMĚRNICE DĚKANA FSI Jednací řád oborových rad doktorských studijních programů FSI VUT v Brně.
Studium v DSP se neuskutečňuje v kreditovém systému. Klasifikační stupně jsou „prospěl“, „neprospěl“, u obhajoby disertační práce je výsledek „obhájil“, „neobhájil“.

Na VUT jsou zohledněny potřeby rovného přístupu k vysokoškolskému vzdělávání. V přijímacím řízení ani ve studiu nedochází k přímé či nepřímé diskriminaci z žádných důvodů. Studujícím se specifickými vzdělávacími potřebami (poruchy učení, fyzický a smyslový handicap, chronická somatická onemocnění, poruchy autistického spektra, narušené komunikační schopnosti, psychická onemocnění) je poskytováno poradenství v poradenském centru VUT, které je součástí Institutu celoživotního vzdělávání VUT. Podrobně tuto problematiku řeší Směrnice rektora č. 11/2017 „Uchazeči a studenti se specifickými potřebami na VUT“. Rovněž je vytvořen funkční systém sociálních stipendií, který popisuje Směrnice rektora č. 71/2017 „Ubytovací a sociální stipendium“.

Doktorský studijní program Aplikovaná matematika navazuje na navazující magisterský studijní program Matematické inženýrství, který je akreditován (a vyučován) na FSI VUT v Brně.

1. kolo (podání přihlášek od 01.04.2026 do 31.05.2026)

1. Analýza vlastních čísel a vektorů matice

   Vlastní čísla spolu s vlastními vektory matice mají široké uplatnění v mnoha oblastech (např. řešení systémů lineárních diferenciálních či diferenčních rovnic, kritéria konvergence iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic, zavedení spektrální normy, atd). Součástí tématu bude numerické řešení vlastních čísel a vektorů a analýza vlastních čísel v případě speciálních matic. 

   Školitel: Tomášek Petr, doc. Ing., Ph.D.

2. Asymptotika dynamických rovnic reálných řádů

   Budeme studovat kvalitativní vlastnosti různých typů diferenciálních rovnic celočíselných i neceločíselných řádů. Pozornost bude věnována mj. odvozování asymptotických formulí, které výrazně zpřesní informace o chování řešení, či hledání kritérií pro oscilaci. Dále se chceme soustředit na studium (nových) jevů, které se vyskytují u rovnic s neceločíselným řádem. Budeme uvažovat nejen rovnice diferenciální, ale i jejich diskrétní (či časově škálové analogie). To umožní mj. lépe pochopit a vysvětlit podobnosti či nesrovnalosti mezi spojitým případem a jeho nějakou diskretizací, získat rozšíření na nové škály, či obdržet nové výsledky např. v klasickém diskrétním případě prostřednictvím vhodné transformace na jinou časovou škálu. Je dále očekáváno, že výsledky se uplatní i z hlediska teorie stability.

   Školitel: Řehák Pavel, prof. Mgr., Ph.D.

3. Design kvantových algoritmů

   Cílem doktorského studia je výzkum a návrh kvantových algoritmů s důrazem na variační kvantové algoritmy (VQA), které představují jednu z nejperspektivnějších tříd algoritmů pro současná i blízká budoucí kvantová zařízení (NISQ). Výzkum se zaměřuje na teoretické i praktické aspekty návrhu variačních kvantových obvodů, optimalizačních strategií a hybridních kvantově-klasických výpočetních schémat.

   Doktorand se bude zabývat analýzou expressivity a trénovatelnosti variačních ansatzů, studiem problémů jako barren plateaus, robustnost vůči šumu a chybám kvantového hardwaru a návrhem nových architektur obvodů přizpůsobených konkrétním třídám úloh. Součástí práce bude také vývoj a testování algoritmů pro vybrané aplikační oblasti, například kvantovou chemii, kombinatorickou optimalizaci nebo strojové učení.

   Výzkum bude probíhat jak na teoretické úrovni, tak prostřednictvím numerických simulací a experimentů na dostupných kvantových platformách. Doktorské studium předpokládá aktivní publikační činnost, účast na mezinárodních konferencích a spolupráci s domácími i zahraničními výzkumnými skupinami v oblasti kvantových výpočtů.

   Školitel: Vašík Petr, doc. Mgr., Ph.D.

4. Digitální Jordanovy křivky a plochy

   Cílem tématu je nalezení nových strukturací 2D a 3D digitálního prostoru poskytujících pojem souvislosti vhodný pro definice digitálních Jordanových křivek a ploch. Pozornost bude věnována strukturacím založeným na teorii grafů (relace přilehlosti), teorii n-árních relací a obecné topologii (uzávěrové operátory). Získané výsledky budou porovnány navzájem i se známými metodami strukturace digitálního prostoru (klasické přilehlosti, Khalimského topologie apod.). Jejich přínosem budou nové definice digitálních Jordanových křivek a ploch, které obohatí dosud známou škálu těchto křivek a ploch a umožní tak zefektivnit některé algoritmy zpracování digitálních obrazů (související s hranicemi zobrazovaných objektů, jako jsou segmentace, rozpoznávání vzorů, komprese paměti atd.).    

   Školitel: Šlapal Josef, prof. RNDr., CSc.

5. Funkcionální diferenciální rovnice

   Funkcionální diferenciální rovnice jsou zobecněním obyčejných diferenciálních rovnic. Speciálním případem těchto rovnic jsou rovnice se zpožděným argumentem. Jejich předností je to, že v některých případech mohu popsat reálné situace lépe než obyčejné diferenciální rovnice. Kromě rovnice se zpožděním se budeme zabývat také rovnicemi se zrychleným argumentem, které ve známé literatuře tak intenzivně studovány nejsou. Zaměříme se hlavně na analýzu kvalitativních vlastností konkrétních funkcionálních diferenciálních rovnic, které se mohou objevit v reálných modelech.

   Školitel: Opluštil Zdeněk, doc. Mgr., Ph.D.

6. Geometrické řízení kvantových systémů

   Kvantový proces lze popsat pomocí evolučního operátoru a lze ho tak vidět jako křivku v unitární Lieově grupě. Kvantové geometrické řízení optimalizuje kvantové operace tím, že je považuje za geodetické křivky, s cílem minimalizovat čas, energii nebo chyby. Mezi klíčové problémy patří nalezení optimálních řídicích pulzů a implementace sub-Riemannovských, časově optimálních manévrů pro manipulaci stavů qubitů.

   Školitel: Návrat Aleš, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D.

7. Mnohorozměrné extremální modely ve finančním sektoru

   Prudké a neočekávané výkyvy finančních trhů vedou k extrémním pohybům cen aktiv a indexů, přičemž historické krize potvrdily jejich zásadní dopad na globální ekonomiku. Studium se zaměřuje na identifikaci a testování vhodných modelů pro zachycení simultánního extrémního chování více aktiv. Klíčovým cílem je hluboká analýza vlastností těchto modelů s důrazem na jejich predikční schopnosti v dobách tržní nestability.

   Školitel: Hübnerová Zuzana, doc. Mgr., Ph.D.

8. Nelineární dynamické systémy a jejich aplikace

   Nelineární dynamické systémy (spojité či diskrétní) obecně vykazují komplikovanější chování něž systémy lineární. Typickým jevem je, že se při změně hodnoty parametru systému může zcela dojít ke změně kvalitativního chování systému, dochází k tzv. bifurkacím. Tyto bifurkace např. mohou vést až k velmi složitému chování, které se nazývá deterministický chaos, a to i přesto, že systém je dán velmi jednoduše vypadající soustavou diferenciálních rovnic. Poslední zhruba dvě dekády zažívá zájem o dynamické systémy určitou renesanci v tom smyslu, že se do popředí dostávají modely reflektující historii stavu, ať už prostřednictvím zpožděného argumentu nebo prostřednictvím tzv. zlomkové derivace. Ukázalo se totiž, že takové modely dokážou v mnoha situacích vystihnout realitu lépe.

   Téma doktorského studia je zaměřeno na analýzu vybraných matematických modelů využívajících soustav nelineárních rovnic (ať už diferenciálních, nebo diferenčních), přičemž se nabízí vzít v potaz také rovnice zlomkové (tj. neceločíselného řádu) a zpožděné (teoretické poznatky z poslední doby umožňují hlubší analýzu takových úloh, která dříve nebyla možná). Z konkrétních aplikací je pak možné zaměřit se na modely mající využití v letectví nebo teorii řízení.

   Školitel: Nechvátal Luděk, doc. Ing., Ph.D.

9. Okrajové úlohy pro nelineární obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu

   Budeme se věnovat otázkám existence a jednoznačnosti řešení okrajových úloh pro nelineární obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu. Zaměříme se zejména na rovnice, které se vyskytují v matematických modelech některých procesů v mechanice. Typickými představiteli takových rovnic jsou neautonomní Duffingova diferenciální rovnice, kterou získáme například při aproximaci nelinearit v pohybových rovnicích některých oscilátorů, a neautonomní rovnice kyvadla.

   Školitel: Šremr Jiří, doc. Ing., Ph.D.

10. Topologické struktury na kategoriích

    Cílem disertační práce je studium a porovnání různých topologických struktur na kategoriích, jako jsou uzávěrové operátory a operátory vnitřku, operátory okolí, konvergenční struktury, topogenní uspořádání, uniformity, proximita apod. To povede k nalezení nových přístupů a získání nových výsledků popisujících chování těchto struktur a jejich vzájemné vztahy. Očekává se, že budou na kategoriální úroveň povýšeny a pak prostudovány také některé další klasické topologické struktury, např. metriky a jejich zobecnění. Významnou vlastností topologických struktur na kategoriích je jejich bezbodovost, takže dosažené výsledky budou také příspěvkem ke studiu bezbodových topologických struktur.   

    Školitel: Šlapal Josef, prof. RNDr., CSc.